Системы счисления, применяемые в цифровых ЭВМ
В ЭВМ используются следующие системы счисления:
1. Двоичная система счисления - в качестве рабочей ;
2. Десятичная система счисления - для записи исходной информации и выдачи результатов;
3. Восьмеричная система счисления;
4. Шестнадцатиричная система счисления;
5. Смешанная (двоично-десятичная) система счисления.
Восьмеричная и шестнадцатиричная системы счисления являются вспомогательными. Они применяются при подготовке задач к решению (программировании на языках ассемблере, машинном и др.). Данные системы удобны тем, что 8-ричная запись какого-либо числа в три раза короче его двоичной записи, а 16-ричная запись - в четыре раза. Что касается перевода чисел из одной системы в другую, а именно по схемам 8®2, 2®8, 16®2, 2®16, то он не вызывает каких-либо затруднений и может выполняться чисто механическим путем.
Двоично-десятичная система счисления также является вспомогательной и используется, в основном, для хранения десятичных чисел в памяти ЭВМ. Запись десятичных чисел в двоично-десятичной с.с. осуществляется следующим образом. Каждая цифра десятичного числа записывается ее двоичным эквивалентом. Для такой записи потребуется не более четырех двоичных разрядов. Четырехзначное двоичное число, изображающее десятичную цифру, называется тетрадой .
Для того чтобы некоторое десятичное число представить в двоично-десятичной форме, необходимо каждую его цифру записать соответствующей ей тетрадой. Возьмем, например, десятичное число 3795,28 и запишем его в двоично-десятичном виде:
0011 0111 1001 0101, 0010 1000
Т.о., десятичное число 3795,28 будет иметь такую двоично-десятичную запись: 0011011110010101,00101000.
Переход от десятичной к двоично-десятичной записи производится, как видим, элементарно и не требует каких-либо вычислений.
Для обратного перевода (от двоично-десятичной записи к десятичной) необходимо двоично-десятичное число влево и вправо от запятой разбить на четверки цифр (тетрады), а затем каждую из них записать отвечающей ей десятичной цифрой.
Пусть, например, дано двоично-десятичное число: 010110000110,00110111
Разобьем его на тетрады и заменим каждую тетраду десятичной цифрой:
0101 1000 0110, 0011 0111 = 586,37.
Общее правило для перевода целых чисел. Для перевода целого числа из одной позиционной системы счисления в другую, его надо последовательно разделить на основание q той системы, в которую оно переводится. Деление производится до тех пор, пока не получим частное, меньшее чем q. Число в новой системе счисления запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Последнее частное дает старшую цифру числа. Перевод производится в той системе счисления из которой переводим.
Для перевода чисел из одной системы счисления в другую необходимо владеть основными сведениями о системах счисления и форме представления чисел в них.
Количество s различных цифр, употребляемых в системе счисления, называется основанием, или базой системы счисления. В общем случае положительное число X в позиционной системе с основанием s может быть представлено в виде полинома:
где s - база системы счисления, - цифры, допустимые в данной системе счисления . Последовательность образует целую часть X , а последовательность - дробную часть X .
В вычислительной технике наибольшее применение нашли двоичная (BIN - binary), и двоично кодированные системы счисления: восьмеричная (OCT - octal), шестнадцатеричная (HEX - hexadecimal) и двоично-кодированная десятичная (BCD - binary coded decimal).
В дальнейшем для обозначения используемой системы счисления число будет заключаться в скобки, а в индексе указано основание системы. Число X по основанию s будет обозначено .
Двоичная система счисления
Основанием системы счисления служит число 2 (s = 2) и для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1. Чтобы представить любой разряд двоичного числа, достаточно иметь физический элемент с двумя чётко различными устойчивыми состояниями, одно из которых изображает 1, а другое 0.
Прежде чем заняться переводом из любой системы счисления в двоичную, нужно внимательно изучить пример записи числа в двоичной системе счисления:
Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы .
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Эти системы счисления относятся к двоично-кодированным, в которых основание системы счисления представляет собой целую степень двойки: - для восьмеричной и - для шестнадцатеричной.
В восьмеричной системе счисления(s = 8) используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Прежде чем заняться переводом из любой системы счисления в восьмеричную, нужно внимательно изучить пример записи числа в восьмеричной системе:
В шестнадцатеричной системе счисления (s = 16) используются 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Пример записи числа в шестнадцатеричной системе:
Широкое применение восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления обусловлено двумя факторами.
Во-первых, эти системы позволяют заменить запись двоичного числа более компактным представлением (запись числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системах будет соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной записи этого числа). Во-вторых, взаимное преобразование чисел между двоичной системой с одной стороны и восьмеричной и шестнадцатиречной - с другой осуществляется сравнительно просто. Действительно, поскольку для восьмеричного числа каждый разряд представляется группой из трёх двоичных разрядов (триад), а для шестнадцатеричного - группой из четырёх двоичных разрядов (тетрад), то для преобразования двоичного числа достаточно объединить его цифры в группы по 3 или 4 разряда соответственно, продвигаясь от разделительной запятой вправо и влево. При этом, в случае необходимости, добавляют нули слева от целой части и/или справа от дробной части и каждую такую группу - триаду или тетраду - заменяют эвивалентной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой (см. таблицу).
Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы .
Соответствие между цифрами в различных системах счисления| DEC | BIN | OCT | HEX | BCD |
| 0 | 0000 | 0 | 0 | 0000 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 | 0001 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 | 0010 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 | 0011 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 | 0100 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 | 0101 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 | 0110 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 | 0111 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 | 1000 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 | 1001 |
| 10 | 1010 | 12 | A | 0001 0000 |
| 11 | 1011 | 13 | B | 0001 0001 |
| 12 | 1100 | 14 | C | 0001 0010 |
| 13 | 1101 | 15 | D | 0001 0011 |
| 14 | 1110 | 16 | E | 0001 0100 |
| 15 | 1111 | 17 | F | 0001 0101 |
Для обратного перевода каждая OCT или HEX цифра заменяется соответственно триадой или тетрадой двоичных цифр, причём незначащие нули слева и справа отбрасываются.
Для рассмотренных ранее примеров это выглядит следующим образом:
Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы .
Двоично-десятичная система счисления
В двоично-десятичной системе вес каждого разряда равен степени 10, как в десятичной системе, а каждая десятичная цифра кодируется четырьмя двоичными цифрами. Для записи десятичного числа в BCD-системе достаточно заменить каждую десятичную цифру эквивалентной четырёхразрядной двоичной комбинацией:
Любое десятичное число можно представить в двоично-десятичной записи, но следует помнить, что это не двоичный эквивалент числа. Это видно из следующего примера:
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Пусть X - число в системе счисления с основанием s , которое требуется представить в системе с основанием h . Удобно различать два случая.
В первом случае и, следовательно, при переходе к основанию h можно использовать арифметику этой системы. Метод преобразования состоит в представлении числа в виде многочлена по степеням s , а также в вычислении этого многочлена по правилам арифметики системы счисления с основанием h . Так, например, удобно переходить от двоичной или восьмеричной системы счисления к десятичной. Описанный приём иллюстрируют следующие примеры:
.
.
В обоих случаях арифметические действия выполняются по правилам системы счисления с основанием 10.
Во втором случае () удобнее пользоваться арифметикой по основанию s . Здесь следует учитывать, что перевод целых чисел и правильных дробей производится по различным правилам. При переводе смешанных дробей целая и дробная части переводятся каждая по своим правилам, после чего полученные числа записываются через запятую.
Перевод целых чисел
Правила перевода целых чисел становится ясным из общей формулы записи числа в произвольной позиционной системе. Пусть число в исходной системе счисления s имеет вид . Требуется получить запись числа в системе счисления с основанием h :
.
Для нахождения значений разделим этот многочлен на h :
.
Как видно, младший разряд , то есть , равен первому остатку. Следующий значащий разряд определяется делением частного на h :
.
Остальные также вычисляются путём деления частных до тех пор, пока не станет равным нулю.
Для перевода целого числа из s-ичной системы счисления в h-ичную необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на h (по правилам системы счисления с основанием h) до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Старшей цифрой в записи числа с основанием h служит последний остаток, а следующие за ней цифры образуют остатки от предшествующих делений, выписываемые в последовательности, обратной их получению.
Назначение сервиса . Сервис предназначен для перевода чисел из одной системы счисления в другую в онлайн режиме. Для этого выберите основание системы, из которой необходимо перевести число. Вводить можно как целые, так и числа с запятой.Можно вводить как целые числа, например 34 , так и дробные, например, 637.333 . Для дробных чисел указывается точность перевода после запятой.
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Способы представления чисел
Двоичные (binary) числа – каждая цифра означает значение одного бита (0 или 1), старший бит всегда пишется слева, после числа ставится буква «b». Для удобства восприятия тетрады могут быть разделены пробелами. Например, 1010 0101b.Шестнадцатеричные (hexadecimal) числа – каждая тетрада представляется одним символом 0...9, А, В, ..., F. Обозначаться такое представление может по-разному, здесь используется только символ «h» после последней шестнадцатеричной цифры. Например, A5h. В текстах программ это же число может обозначаться и как 0хА5, и как 0A5h, в зависимости от синтаксиса языка программирования. Незначащий ноль (0) добавляется слева от старшей шестнадцатеричной цифры, изображаемой буквой, чтобы различать числа и символические имена.
Десятичные (decimal) числа – каждый байт (слово, двойное слово) представляется обычным числом, а признак десятичного представления (букву «d») обычно опускают. Байт из предыдущих примеров имеет десятичное значение 165. В отличие от двоичной и шестнадцатеричной формы записи, по десятичной трудно в уме определить значение каждого бита, что иногда приходится делать.
Восьмеричные (octal) числа – каждая тройка бит (разделение начинается с младшего) записывается в виде цифры 0–7, в конце ставится признак «о». То же самое число будет записано как 245о. Восьмеричная система неудобна тем, что байт невозможно разделить поровну.
Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую
Перевод целых десятичных чисел в любую другую системы счисления осуществляется делением числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока в остатке не останется число меньшее основания новой системы счисления. Новое число записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.Перевод правильной десятичной дроби в другую ПСС осуществляется умножением только дробной части числа на основание новой системы счисления до тех пор пока в дробной части не останутся все нули или пока не будет достигнута заданная точность перевода. В результате выполнения каждой операции умножения формируется одна цифра нового числа начиная со старшего.
Перевод неправильной дроби осуществляется по 1 и 2 правилу. Целую и дробную часть записывают вместе, отделяя запятой.
Пример №1
.
Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.
Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).
Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.
Пример №2
. 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Пример №3
. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
здесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Перевод чисел из 2 , 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.
Пример №4
.
Пример перевода из двоичной в десятичную систему счисления.
1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10
Пример перевода из восьмеричной в десятичную систему счисления.
108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10
Пример перевода из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления.
108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10
Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС
- Из десятичной системы счисления:
- разделить число на основание переводимой системы счисления;
- найти остаток от деления целой части числа;
- записать все остатки от деления в обратном порядке;
- Из двоичной системы счисления
- Для перевода в десятичную систему счисления необходимо найти сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда;
- Для перевода числа в восьмеричную необходимо разбить число на триады.
Например, 1000110 = 1 000 110 = 106 8 - Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить число на группы по 4 разряда.
Например, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Таблица соответствия систем счисления:
| Двоичная СС | Шестнадцатеричная СС |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления
Пример №2
. Перевести число 100,12 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и обратно. Пояснить причины расхождений.
Решение
.
1 Этап. .
Остаток от деления записываем в обратном порядке. Получаем число в 8-ой системе счисления: 144
100 = 144 8
Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на основание 8. В результате каждый раз записываем целую часть произведения.
0.12*8 = 0.96 (целая часть 0
)
0.96*8 = 7.68 (целая часть 7
)
0.68*8 = 5.44 (целая часть 5
)
0.44*8 = 3.52 (целая часть 3
)
Получаем число в 8-ой системе счисления: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
2 Этап. Перевод числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления
.
Обратный перевод из восьмеричной системы счислений в десятичную.
Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Разница в 0,0001 (100,12 - 100,1199) объясняется погрешностью округлений при переводе в восьмеричную систему счислений. Эту погрешность можно уменьшить, если взять большее число разрядов (например, не 4, а 8).
Основные понятия систем счисления
Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ; ; и т. д.
Различают два типа систем счисления:
позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;
непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.
Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.
Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:
где S - основание системы счисления;
Цифры числа, записанного в данной системе счисления;
n - количество разрядов числа.
Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом:
Виды систем счисления
Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.
Таблица 2. Запись чисел в римской системе счисления
|
III |
||||
|
VII |
VIII |
|||
|
XIII |
XVIII |
XIX |
XXII |
|
|
XXXIV |
XXXIX |
XCIX |
||
|
200 |
438 |
649 |
999 |
1207 |
|
CDXXXVIII |
DCXLIX |
CMXCIX |
MCCVII |
|
|
2045 |
3555 |
3678 |
3900 |
3999 |
|
MMXLV |
MMMDLV |
MMMDCLXXVIII |
MMMCM |
MMMCMXCIX |
Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.
Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.
Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.
Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке - наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.
Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.
В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание - число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры - 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII - ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.
Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы - триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.
С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки - точки и тире, может передать практически любой текст.
Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.
Таблица 3. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления
|
Десятичная |
Двоичная |
Восьмеричная |
Шестнадцатеричная |
|
001 |
|||
|
010 |
|||
|
011 |
|||
|
100 |
|||
|
101 |
|||
|
110 |
|||
|
111 |
|||
|
1000 |
|||
|
1001 |
|||
|
1010 |
|||
|
1011 |
|||
|
1100 |
|||
|
1101 |
D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/ |
||
|
1110 |
|||
|
1111 |
|||
|
10000 |
Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую
Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.
1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
Таблица 4. Степени числа 2
|
n (степень) |
|||||||||||
|
1024 |
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:
Таблица 5. Степени числа 8
|
n (степень) |