На этом уроке мы повторим пройденную теорию и продолжим решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
Вначале повторим теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. И далее будем решать задачи с использованием этого признака.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Повторение теории и решение типовых задач на

перпендикулярность прямой и плоскости (продолжение)

На этом уроке мы повторим пройденную теорию и продолжим решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости .

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две прямые p и q, пересекающиеся в точке О (рис. 1). Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q . Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

3. Сайт репетитора по математике()

1. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Дана окружность с центром в точке О . Прямая МО перпендикулярна плоскости окружности. Докажите, что прямая МО перпендикулярна любому радиусу окружности.

3. В треугольнике АВС проведена высота СН . Прямая МА перпендикулярна плоскости АВС . Перпендикулярна ли прямая СН плоскости АМВ ?

4. Прямая МА перпендикулярна плоскости квадрата АВС D . Найдите длину отрезков МС, MB , MD , если сторона квадрата равна а, АМ = b .

Задачи и упражнения на готовых чертежах, 10-11 классы, Геометрия, Рабинович Е. М., 2006.

Оглавление
Предисловие.
Повторение курса планиметрии.
Таблица 1. Решение треугольников.
Таблица 2. Площадь треугольника.
Таблица 3. Площадь четырехугольника.
Таблица 4. Площадь четырехугольника. Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые.
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей.
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей.
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей.
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Таблица 10.11. Перпендикуляр и наклонная.
Таблица 10.12. Перпендикуляр и наклонная.
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах.
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах.
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах.
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей.
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей.
Таблица 10.18. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве.
Таблица 10.20. Угол между скрещивающимися прямыми.
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью.
Таблица 10.22. Угол между плоскостями.
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника
Таблица 10.24. Векторы в пространстве.Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.1. Двугранный угол. Трехгранный угол.
Таблица 11.2. Прямая призма.
Таблица 11.3. Правильная призма.
Таблица 11.4. Правильная призма.
Таблица 11.5. Наклонная призма.
Таблица 11.6. Параллелепипед.
Таблица 11.7. Построение сечений призмы.
Таблица 11.8. Правильная пирамида.
Таблица 11.9. Пирамида.
Таблица 11.10. Пирамида.
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида.
Таблица 11.12. Построение сечении пирамиды.
Таблица 11.13. Цилиндр.
Таблица 11.14. Конус.
Таблица 11.15. Kohуc. Усеченный kohуc.
Таблица 11.16. Шар.
Таблица 11.17. Вписанный и описанный шар.
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда.
Таблица 11.19. Объем призмы.
Таблица 11.20. Объем пирамиды.
Таблица 11.21. Объем пирамиды.
Таблица 11.22. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды.
Таблица 11.23. Объем и площадь боковой поверхности цилиндра.
Таблица 11.24. Объем и площадь боковой поверхности конус.
Таблица 11.25. Объем конуса. Объем усеченного конуса. Площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.
Таблица 11.26. Объем шара. Площадь поверхности шара. Ответы, указания, решения

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Задачи и упражнения на готовых чертежах, 10-11 классы, Геометрия, Рабинович Е. М., 2006 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Рабинович Е.М.

М.: 2014. - 80 с.

Пособие составлено в виде таблиц и содержит более 350 задач. Задачи каждой таблицы соответствуют определенной теме школьного курса геометрии 10-11 классов и расположены внутри таблицы в порядке возрастания их сложности.

Учитель математики, работающий в старших классах, хорошо знает, как трудно научить учеников делать наглядные и правильные чертежи к стереометрическим задачам.

Из-за недостатка пространственного воображения стереометрическая задача, к которой нужно сделать чертеж самостоятельно, зачастую становится для ученика непосильной.

Именно поэтому использование готовых чертежей к стереометрическим задачам значительно увеличивает объем рассматриваемого на уроке материала, повышает его эффективность.

Предлагаемое пособие является дополнительным сборником задач по геометрии для учащихся 10-11 классов общеобразовательной школы и ориентировано на учебник А.В. Погорелова "Геометрия 7-11". Оно является продолжением аналогичного пособия для учащихся 7-9 классов.

Формат: pdf (2014, 80с.)

Размер: 1,2 Мб

Смотреть, скачать: drive.google ; Rghost

Формат: djvu (2006, 80с.)

Размер: 1,3 Мб

Скачать: drive.google

Оглавление
Предисловие 3
Повторение курса планиметрии 5
Таблица 1. Решение треугольников 5
Таблица 2. Площадь треугольника 6
Таблица 3. Площадь четырехугольника 7
Таблица 4. Площадь четырехугольника 8
Стереометрия. 10 класс 9
Таблица 10.1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия... 9
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. 10
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые 11
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей 12
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей 13
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей 14
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости 15
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости 16
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости 17
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости 18
Таблица 10.11. Перпендикуляр и наклонная 19
Таблица 10.12. Перпендикуляр и наклонная 20
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах 21
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах 22
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах 23
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей 24
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей 25
Таблица 10.18. Расстояние между скрещивающимися прямыми 26
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве 27
Таблица 10.20. Угол между скрещивающимися прямыми 28
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью 29
Таблица 10.22. Угол между плоскостями 30
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника 31
Таблица 10.24. Векторы в пространстве 32
Стереометрия. 11 класс 33
Таблица 11.1. Двугранный угол. Трехгранный угол 33
Таблица 11.2. Прямая призма 34
Таблица 11.3. Правильная призма 35
Таблица 11.4. Правильная призма 36
Таблица 11.5. Наклонная призма 37
Таблица 11.6. Параллелепипед 38
Таблица 11.7. Построение сечений призмы 39
Таблица 11.8. Правильная пирамида 40
Таблица 11.9. Пирамида 41
Таблица 11.10. Пирамида 42
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида 43
Таблица 11.12. Построение сечений пирамиды 44
Таблица 11.13. Цилиндр 45
Таблица 11.14. Конус 46
Таблица 11.15. Конус. Усеченный конус 47
Таблица 11.16. Шар 48
Таблица 11.17. Вписанный и описанный шар 49
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда 50
Таблица 11.19. Объем призмы 51
Таблица 11.20. Объем пирамиды 52
Таблица 11.21. Объем пирамиды 53
Таблица 11.22. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды 54
Таблица 11.23. Объем и площадь боковой поверхности цилиндра..55
Таблица 11.24. Объем и площадь боковой поверхности конуса 56
Таблица 11.25. Объем конуса. Объем усеченного конуса. Площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса 57
Таблица 11.26. Объем шара. Площадь поверхности шара 58
Ответы, указания, решения 59

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Класс: 10.

Базовый учебник: Геометрия 10-11: базовый и профильный уровни/ Л.С. Атанасян и др.- М.: Просвещение, 2009.

К уроку прилагается презентация, тест, сделанный в Microsoft Excel для компьютерной проверки знаний учащихся (Приложение 1 ), учебный модуль Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (Приложение 2 ),состоящий из 5 заданий различного уровня сложности. Все задания данного модуля параметризованы, что позволяет формировать индивидуальные задания. Задания предназначены для отработки навыков решения задач, используя признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для работы с учебным модулем необходимо установить специальную программу, она находится в Приложении 3 . В презентации к уроку имеется самостоятельная работа по изучаемой теме. Таким образом, количество предлагаемого материала избыточно, что позволяет его дозировать, варьировать в зависимости от уровня подготовленности класса.

Тип урока: урок творческого применения знаний.

Форма проведения: практикум решения ключевых задач.

Время проведения: 45 минут.

Место урока в разделе : 4 урок.

Цели:

Обучающие:

• «открыть» понятия перпендикуляра и наклонной к плоскости;
• формировать умения:
  видеть конфигурации, удовлетворяющие заданным условиям;
  применять определение прямой, перпендикулярной к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости к задачам на доказательство;
• выработать навыки решения основных задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Развивающие:

• развивать пространственное воображение, логическое мышление;
• развивать самостоятельность учащихся и творческое отношение к выполнению заданий;
• организовать осмысление полученных результатов изучения темы и способов их достижения.

Воспитательные:

• воспитывать:
  волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении задач;
  информационную культуру и культуру общения.

Методы: частично-поисковый, исследовательский.

Формы организации деятельности: фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная работа.

Оборудование: компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран, компьютерная презентация по теме, тест (Приложение 1), карточки для индивидуальной работы (Слайд 9), карточки с вопросами теории, ЭОР с практическим параметризованным заданием (Приложение 2).

Ход урока

Организационный момент – проверка готовности класса к уроку.

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1. Актуализация знаний.

– Сегодня мы продолжаем работать над темой «Перпендикулярность прямой и плоскости». На прошлых уроках мы «открыли» определение прямой, перпендикулярной к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, разобрали простейшие задачи. В качестве домашнего задания каждый из вас получил лист с вопросами теории, вам предлагалось подготовить ответы на эти вопросы.

Проверим, как вы справились с этим заданием.

Идет фронтальный опрос. (слайды 6-8).

Вопросы : Верно ли утверждение: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к прямой, принадлежащей плоскости? (нет) Могут ли быть перпендикулярны к плоскости две стороны треугольника одновременно? (нет, тогда через одну точку пройдут две прямые, перпендикулярные к плоскости). Сторона AB правильного треугольника ABC лежит в плоскости α. Может ли прямая BC быть перпендикулярна к плоскости α? (нет, так как тогда BC⊥AB, но в правильном треугольнике углы равны 60°). Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к данной плоскости? (только если они пересекающиеся). Прямая a перпендикулярна к плоскости α, прямая b не перпендикулярна к плоскости α. Могут ли быть параллельными прямые a и b ? (нет, если это предположить, то тогда b ⊥a , что противоречит условию). Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника? (нет, она перпендикулярна лежащим в этой плоскости всем трем сторонам треугольника). Через вершину квадрата ABCD проведена прямая AM, перпендикулярная к плоскости квадрата. Докажите, что прямая AD перпендикулярна к плоскости, проходящей через прямые AM и AB. Через центр окружности, описанной около треугольника ABC, проведена прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника ABC. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника ABC. На практике вертикальность столба проверяют, глядя на столб поочередно с двух направлений. Как обосновать правильность такой проверки?

Подводятся итоги устной работы, оцениваются ответы учащихся.

2. Постановка учебной задачи.

Сегодня мы продолжим формировать умения применять известные утверждения в задачах на доказательство и в решении типовых задач.

1. Следующий этап работы – два ученика вызываются к доске для индивидуальной работы по карточкам, с остальными учащимися проводится фронтальная работа по готовым чертежам. Карточки для индивидуальной работы:

Задания для устной работы по готовым рисункам:

Дано: M ABC , MBCD – прямоугольник. Доказать: прямая CD ⊥ABC	Дано: ABCD – параллелограмм. Доказать: прямая MO ⊥ABC
Дано: M ABC , ABCD – ромб. Доказать: прямая BD ⊥AMC	Дано: AH ⊥α, AB – наклонная. Найти AB .
Дано: AH ⊥α, AB – наклонная. Найти AH , BH .	Дано: AH ⊥α, AB и AC – наклонные. AB = 12, HC = 6√6 . Найти AC .

– Ребята, в задачах 4-6 речь идет о наклонных к плоскости. Как вы думаете, что имеется в виду?

Существует ли здесь аналогия с понятиями перпендикуляра и наклонной к прямой, изучаемых в планиметрии?

Учащимся предлагается изучить слайд 10 презентации и решить эти задачи.

2. Работа в парах – решаются задачи по готовым чертежам.

Решения обсуждаются. Оцениваются ответы отдельных учащихся.

Следующий этап урока – выполнение практического задания на компьютере, работа с ЭОР.

III. Рефлексивно-оценочная часть.

1. Итогом работы на уроке является проверочная работа в форме теста.

Подводятся итоги урока, выставляются оценки.

2. Домашнее задание: № 130, 131, 145, 148. (Указание: использовать признак перпендикулярности прямой и плоскости).

6.1 Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Представление о прямых или, вернее, об отрезках, перпендикулярных плоскости, дают вертикально стоящие столбы (они перпендикулярны поверхности земли), натянутый шнур, на котором висит лампа (он перпендикулярен потолку), ножки стола (они перпендикулярны полу). Вертикальный косяк двери перпендикулярен полу, и нижний край двери, прилегающий к полу, перпендикулярен косяку при всех положениях двери (рис. 73, а). Этим свойством и определяется перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна ко всякой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения (рис. 73, б).

Рис. 73

Говорят также, что плоскость перпендикулярна прямой или что они взаимно перпендикулярны. Для взаимно перпендикулярных прямой а и плоскости а применяются обозначения a ⊥ α или α ⊥ а.

Отрезок или луч перпендикулярен плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости. Если отрезок перпендикулярен плоскости и его конец лежит в этой плоскости, то он называется перпендикуляром к данной плоскости.

6.2 Перпендикуляр и наклонная

Отрезок, имеющий с плоскостью одну общую точку - конец отрезка, но не перпендикулярный данной плоскости, называется наклонной к плоскости.

Пусть из одной точки А, не лежащей в плоскости а, проведены перпендикуляр АВ и наклонная АС (рис. 74). Отрезок ВС называется проекцией наклонной АС на плоскость α.

Рис. 74

Перпендикуляр АВ короче наклонной АС, т. е. АВ < АС. Действительно, в прямоугольном треугольнике ABC катет АВ короче гипотенузы АС. Итак, перпендикуляр короче наклонной, если они проведены из одной и той же точки к одной плоскости.

Это можно сказать и так: перпендикуляр АВ из точки А на плоскость α - кратчайший из отрезков, соединяющих точку А с точками плоскости α.

Свойство перпендикуляра быть кратчайшим отрезком является характерным свойством. Это значит, что справедливо и обратное утверждение: если АВ - кратчайший отрезок от точки А до плоскости α, то АВ - перпендикуляр к плоскости α.

Доказательство. Докажем это методом от противного. Допустим, что АВ не перпендикуляр к α. Тогда через точку В в плоскости α проходит прямая а, не перпендикулярная к АВ (рис. 75). Опустим из А перпендикуляр AM на прямую а. В прямоугольном треугольнике АВМ катет AM меньше гипотенузы АВ: АМ < АВ. Но тогда отрезок АВ не будет кратчайшим из всех отрезков, идущих из точки А до плоскости а. Получили противоречие. Следовательно, АВ ⊥ α.

Рис. 75

Длиной перпендикуляра, опущенного из самой высокой точки предмета на его основание, измеряют высоту предмета. Так, высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость её основания, а также сам перпендикуляр (на рисунке 76, а, б - это отрезок РО).

Рис. 76

6.3 О значении перпендикуляра

Перпендикуляр к плоскости играет очень важную роль и помимо того, что он является кратчайшим среди всех отрезков от данной точки до точек плоскости. Поясним ещё его значение. Положение плоскости в пространстве можно задавать, указывая перпендикулярную ей прямую и ту точку, в которой она эту прямую пересекает.

Важнейшее свойство перпендикуляра состоит в том, что плоскость расположена симметрично относительно него. Что это значит? Все лучи, лежащие в данной плоскости, образуют с ним равные углы - прямые углы, а для наклонной это не так (рис. 77, а). При вращении вокруг перпендикуляра плоскость совмещается сама с собой: колесо должно быть насажено на ось так, чтобы его плоскость была перпендикулярна оси. Прямоугольник со стороной, перпендикулярной плоскости, можно вращать вокруг этой стороны, а другая сторона будет скользить по плоскости. Это хорошо видно на правильно навешенной двери. Если её край не вертикален, дверь не открывается свободно и задевает пол.

Рис. 77

Беря примеры из физики, можно отметить, что давление жидкости или газа на стенку сосуда направлено по перпендикуляру к стенке, так же как давление груза на опору направлено по перпендикуляру к ней (рис. 77, б и 78, а).

Рис. 78

Перпендикуляр к поверхности фигурирует в законах отражения и преломления света. Так, закон отражения гласит: «Луч падающий и луч отражённый расположены в одной плоскости с перпендикуляром к поверхности зеркала в точке падения и образуют с ним равные углы». «Угол падения» и «угол отражения» -это углы между указанным перпендикуляром и лучом падающим и лучом отражённым (рис. 78, б).

Но главное значение перпендикуляра - это его роль в технике и во всей нашей жизни.

Мы, можно сказать, окружены перпендикулярами: ножки стола перпендикулярны полу, край шкафа перпендикулярен стене и т. д.

Вертикаль перпендикулярна горизонтальной плоскости. Вертикальность проверяют отвесом (см. фото). Перпендикулярность играет главную роль в строительстве: междуэтажные перекрытия укладывают перпендикулярно столбам каркаса здания.

Как мы дальше увидим, параллельность плоскостей связана с наличием у них общих перпендикуляров. Перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей - существенный элемент в строительстве, так что учение о перпендикулярах и параллелях можно назвать основами «строительной геометрии».

Вопросы для самоконтроля

1. В чём различие между перпендикуляром к плоскости и наклонной к плскости?
2. Какое определение перпендикуляра к плоскости вы знаете?
3. В чём значение перпендикуляра к плоскости?